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課程名稱 |
代數幾何
Algebraic Geometry |
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開課學期 |
102-2 |
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授課對象 |
理學院 數學系 |
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授課教師 |
齊震宇 |
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課號 |
MATH5146 |
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課程識別碼 |
221 U3600 |
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班次 |
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學分 |
3 |
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全/半年 |
半年 |
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必/選修 |
選修 |
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上課時間 |
星期一7,8(14:20~16:20)星期四3,4(10:20~12:10) |
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上課地點 |
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備註 |
上課教室:數學科學中心101教室(原新數學館101教室)
總人數上限：20人 |
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Ceiba 課程網頁 |
http://ceiba.ntu.edu.tw/1022AG |
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課程簡介影片 |
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核心能力關聯 |
核心能力與課程規劃關聯圖 |
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課程大綱
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為確保您我的權利,請尊重智慧財產權及不得非法影印
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課程概述 |
這是一門代數幾何的入門課程。代數幾何研究多項式方程組解集的「幾何性質」。從介紹代數多樣體的基本理論開始，接著引進 sheaf 與 scheme 的概念，並發展 scheme 上 quasicoherent/coherent sheaf 的 cohomology 理論。這些題材為進一步學習代數幾何或探索其相關應用的閉備知識。
課程的一部分極有可能以「參與者課前先預習某些指定的資料(網路影片或書籍論文)，再於課堂上討論所預習的內容及其延伸」的方式進行，希望有興趣選修/旁聽者能盡快來信(chi@math.ntu.edu.tw)，以利我傳遞即時的訊息。來信請註明姓名與單位級職，最好附加數學知識的背景(非絕對必要)。 |
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課程目標 |
(一)初期目標
了解仿射空間與射影空間中代數多樣體的基本性質，重點在熟悉交換代數的幾何面向，以及透過例子獲得幾何值觀。此部分主要的參考資料為
J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course
A. Onishchik and E. Vinberg, Lie Groups and Algebraic Groups, Ch. 2
I. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I
(二)中、後期目標
引進 sheaf(建議先觀看我在 Youtube 上的複幾何影片 2013/09/23 與 26 兩集)與 scheme 的概念，並發展 scheme 上 quasicoherent/coherent sheaf 的 cohomology 基礎理論。主要會參考
Grothendieck and Dieudonne, Elements de Geometrie Algebrique (EGA) I-IV
Lei Fu, Algebraic Geometry
發展 scheme 基礎理論的同時，將視參與者的學習狀況試著介紹基礎理論的初步應用，可能的題材有 toric geometry、the Grothendieck-Riemann-Roch Theorem 與 Hilbert schemes。 |
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課程要求 |
我們會大量使用交換代數與同調代數，並漸漸增加 category 術語的使用。
(A) 交換代數：主要參考資料為
H. Matsumura, Commutative Algebra (全書)
希望參與者能在課程開始前先掌握其 Ch. 1 至 5，並在課程進行的同時熟悉剩下的部分。該書已經假設了一些基本的交換代數，可參考
M. Atiyah and I. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra 的 Ch. 1 至 9。
我們假設參與者熟悉 fields 與基本的 Galois Theory，可參考
N. Bourbaki, Algebra II 的 Ch. V 或
O. Zariski and P. Samuel, Commutative Algebra I 的 Ch. 2。
(B) 同調代數：最好有過代數拓樸的經驗，例如至少看懂三個我在 Youtube 上的代數拓樸影片(非絕對必要)。必須知道
chain/cochain complexes and their homology/cohomology
chain homotopy
the long cohomology exact sequence induced by a short exact sequence of cochain complexes
必需知道 Injective modules 與 projective modules 的基本性質，這些對代數幾何及交換代數本身的了解都是必要的，可參考
莫宗堅，代數學(下)的最後一章。
此外課程中後段還會用到 spectral sequences，可參考
H. Cartan and S. Eilenberg, Homological Algebra 的 Ch. XV. Spectral Sequences。
(C)關於 category，必須知道什麼是
categories, objects,
morphisms, iso/mono/epimorphisms
contravariant/covariant functor
natural transformations and natural equivalences of functors
representable functors and the Yoneda Lemma
以及 abelian category 的基本理論。
(D) 點集拓樸基礎：必須知道什麼是
topological spaces
subspace topology and quotient topology
continuous maps
compactness, connectedness, axioms of separation
可參考 C. Janich, Topology (全書)。 |
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預期每週課後學習時數 |
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Office Hours |
另約時間 備註： 個別與授課者逐次約定時間 |
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指定閱讀 |
交換代數：
H. Matsumura, Commutative Algebra
古典代數幾何：
J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course
D. Mumford, Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties
Scheme 理論：
Lei Fu, Algebraic Geometry |
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參考書目 |
點集拓樸、交換代數與同調代數：
N. Bourbaki, Algebra I & II,
N. Bourbaki, Commutative Algebra
H. Cartan and S. Eilenberg, Homological Algebra
C. Janich, Topology
H. Matsumura, Commutative Algebra
H. Matsumura, Commutative Ring Theory
莫宗堅, 代數學(下)
O. Zariski and P. Samuel, Commutative Algebra I & II
代數幾何：
Grothendieck and Dieudonne, Elements de Geometrie Algebrique (EGA) I-IV
Lei Fu, Algebraic Geometry
J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course
Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves
D. Mumford, Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties
D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes
D. Mumford, Lectures on Curves on an Algebraic Surface
I. Shefarevich, Basic Algebraic Geometry I
A. Onishchik and E. Vinberg, Lie Groups and Algebraic Groups, Ch. 2 & 3, |
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評量方式
(僅供參考) |
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